************************* Concepts de base -Rappels ************************* .. _Sec:Introduction_chap2: Introduction ************* Les équations établies en Mécanique des Milieux Continus sont générales et englobent à la fois les solides et les fluides. Il faudra différencier ces deux « états » fluide et solide, et la limite est en fait extrêmement ténue. Le sens commun retient généralement comme différence, la notion de déformation. Le solide est admis comme indéformable, tandis que le fluide épouse parfaitement la forme du contenant. En fait, le solide, aussi se déforme mais quand la force qu'il faut exercer pour déformer le solide cesse, il reprend sa forme initiale (en dessous d'un seuil qui est appelé plastique). De plus, si on applique une force constante, la déformation est constante et invariable. Par contre pour un fluide, il se déformera tant qu'une force sera appliquée. La science qui permet de quantifier la "déformation", qui est le mouvement du contour définissant le volume, d'un milieu continu en fonction de la force exercée sur ce contour (ou *tension*, ou *contrainte*) est la **rhéologie**. Cette science permet d'établir une loi de comportement qui caractérise un matériau. Dans ce cours introductif, nous utilisons des lois rhéologiques simples. .. _Figure2.1: .. figure:: ./_static/chapitre2_img/figure1_chap2.jpg :scale: 100% :align: left Déformation d'un parallélépipède solide ou fluide par une force agissant sur une face. Cette approche "mécanicienne" permet donc de différencier solide et fluide. Si on regarde de plus près à la structure atomique, le solide reprend sa forme, car on n'a pas appliqué une force assez grande pour aller au-delà des forces d'attraction atomiques ou moléculaires qui assurent la cohésion du solide. On pourra aussi caractériser la différence entre un liquide et un gaz par des forces d'attraction intermoléculaires de moins en moins intenses. On introduit implicitement ainsi une notion essentielle en physique qui est le Libre Parcours Moyen : cette distance permet de caractériser l'état de la matière, mais aussi nous fournira des indications, permettant de justifier l'utilisation des résultats de la Mécanique des Milieux Continus (MMC). On va établir des équations qui vont décrire la dynamique de ces Milieux Continus. Ces équations, qui résultent des principes de conservation de masse (Lavoisier - 1743-1794) quantité de mouvement (Newton 1643-1727), et d'énergie (Papin 1647-1712 : machine à vapeur et piston, Carnot 1796-1832 - base de la thermodynamique, moteurs thermiques), vont nous permettre de connaître l'évolution dynamique et thermodynamique d'un système fluide à l'échelle macroscopique. (Pour les gaz, on peut établir ces équations à partir de la théorie cinétique des gaz). Notions de « particules fluides » ************************************* On peut étudier l’écoulement d’un fluide en examinant chaque molécules ou atomes, et ce par des approches statistiques. A l’échelle macroscopique, le fluide nous apparaît comme un milieu continu, qui sera décrit mathématiquement par des fonctions continues, ayant des valeurs en chaque point. Un point correspond à un volume physique infinitésimal, qui contient un nombre élevé de molécules et qui est assez petit pour être spatialement homogène, et assez grand pour négliger les fluctuations du nombre de molécules par rapport à la valeur moyenne : c'est la particule fluide. Ce n'est donc pas un point au sens mathématique du terme car on lui associe un volume. Grandeurs caractéristiques macroscopiques d'un fluide en écoulement ******************************************************************* Masse volumique =============== On notera la masse volumique d'un fluide par :math:`\rho` qui est le rapport de la masse *M* contenue dans un volume et la valeur de ce volume. Ce volume est constitué de *N* molécules (d'une seule espèce chimique ici pour simplifier les notations on a aussi) de masse :math:`m_k`. Cette masse volumique doit pouvoir être définie pour une particule fluide, la plus petite étant de volume :math:`\delta V_{lim}`. **Faisons l'expérience suivante :** Choisissons un volume :math:`\delta V` rempli de molécules de masse :math:`m_k`. Faisons varier la taille de ce volume et pour chaque mesure comptons le nombre de molécules qu'il contient. On obtient alors facilement la masse volumique :math:`\rho= \frac{M}{\delta V}` que nous traçons en fonction de :math:`\delta V` pour obtenir la :numref:`figure_massevolvsV`. .. _figure_massevolvsV: .. figure:: ./_static/chapitre2_img/figure2_chap2.jpg :scale: 100% :align: center Evolution de la masse volumique en fonction du volume. On distingue deux cas : * En-dessous de la valeur :math:`\delta V_{lim}`, les variations du nombre de molécules dans le volume sont grandes par rapport au nombre de molécules dans ce volume: Les fluctuations microscopiques de la densité ne sont pas négligeables. * Au-dessus de :math:`\delta V_{lim}`, une valeur constante est atteinte (Rrccordement asymptotique entre la limite microscopique et la limite macroscopique). Si le volume devient trop grand, des variations de l'état thermodynamique local (par exemple, une variation de la température) peuvent entrainer des variations de :math:`\rho`. Ainsi, la fonction mathématique :math:`\rho (M,t)` représente la masse volumique de la particule fluide centrée en *M*, à l'instant *t*. Le passage à la limite quand le volume :math:`\delta V_{lim}` tend vers zéro, doit alors se comprendre comme :math:`lim D -> 0 = \delta V_{lim}` , avec :math:`\delta V_{lim}` le volume physique de cette particule fluide, en dessous duquel, on ne peut plus définir des grandeurs macroscopiques continues. La masse volumique est une grandeur importante en Mécanique des fluides par son utilité pratique : il sera plus facile de mesurer des grandeurs par unité de volume que par unité de masse. Remarque: On quantifie généralement la limite entre un milieu continu et un milieu non continu par un nombre sans dimension, le nombre de Knudsen: :math:`K_n =\frac{\lambda}{L}` avec :math:`\lambda` le libre parcours moyen des molécules et *L* une dimension caractéristique de l'écoulement. - Le milieu est dit continu si :math:`K_n < 10^{-2}` - Le milieu est dit raréfié si :math:`K_n > 10` Il existe aussi des régimes de transition entre ces deux valeurs. .. .. list-table:: Quelques libres parcours moyens dans des conditions standard de pression et de température .. :widths: 12 10 10 10 10 10 .. :stub-columns: 0 .. * - Gaz .. - He .. - :math:`H_2` .. - N2 .. - O2 .. - CO2 .. * - :math:`\lambda (nm)` .. - 209 .. - 176 .. - 83 .. - 95 .. - 39 .. note:: Ainsi, le fluide qui compose le gaz autour d’une étoile, que l’on appelle communément, le vide interstellaire est composé essentiellement d'Hydrogène (H) et d'Hélium (He). A la distance terre-soleil, le libre parcours moyen de ce mélange gazeux est de l’ordre de 1 cm. Il augmente avec cette distance. Vitesse ======= La particule fluide est composée de *N* molécules, chacune ayant une vitesse :math:`\vec{u}` . Cette vitesse est très élevée et varie énormément sur un libre parcours moyen moléculaire (pour de l'air dans des conditions standards, :math:`\left\Vert \vec{u}\right\Vert=450 m/s` ). De la même façon que pour la masse volumique, on va définir une vitesse moyenne de la particule fluide : :math:`\vec{u} = \frac {\sum m_k \vec{u_k} }{ \sum m_k }` Cela signifie que dans un système gazeux, si la vitesse du système est au repos, les molécules formant ce gaz ont une vitesse qui est élevée, mais la moyenne est nulle. Pression, Energie interne, température ======================================= La description d'un fluide requiert aussi la connaissance de son état thermodynamique: la température ou plus généralement l'énergie interne et la pression. Cette dernière grandeur est essentielle en Mécanique des Fluides car la pression intervient aussi dans l'équilibre Mécanique d'une particule fluide, que l'on définira plus précisément (tension). Ces grandeurs sont reliées entre elles par des lois thermodynamiques et au travers de relations appelés loi d'état (par exemple la loi des gaz parfaits). Notion de fluide - Viscosité ============================ Chacun sait que les fluides ne s'écoulent pas de la même manière : le miel s'écoule moins que de l'huile, et l'huile froide s'écoule moins bien que de l'huile très chaude. C'est une loi de comportement qui quantifie cela. Un paramètre de cette loi se mesure de façon relativement simple (expérience de Newton, 1687) \: .. _Figure2.3: .. figure:: ./_static/chapitre2_img/figure3_chap2.jpg :scale: 100% :align: left Mise en mouvement d'un fluide entre deux plaques, mesure de la viscosité ( Ecoulement de Couette) On isole un fluide entre 2 parois, l'une des plaques restant immobile, l'autre, la paroi supérieure, est mise en mouvement par l'application d'un force tangentielle :math:`\vec{F_p}` , et a une vitesse constant :math:`\vec{u_p}` (p : paroi). Une contrainte de cisaillement de norme :math:`\tau` est transmise au fluide, qui se met en mouvement. .. important:: important Au contact avec une paroi, la vitesse du fluide est celle de la paroi : ici, nulle en :math:`x_2=0`, et elle vaut :math:`\vec{u_p}` en :math:`x_2=h`. .. only :: tout Quand un régime **stationnaire** est atteint, on constate un profil linéaire de la vitesse en fonction de :math:`x_2` . Si on décompose le vecteur vitesse du fluide :math:`\vec{u}` dans un repère fixe :math:`( \vec{i}_1,\vec{i}_2`), on a évidemment :math:`(\vec{u}= u_1 \vec{i}_1 + u_2 \vec{i}_2`. D'après le profil obervée, on a :math:`u_1=u_1(x_2)` et :math:`u_2=0`. Le profil est obtenu en appliquant une force constante quelle que soit la hauteur *h* séparant les deux plaques alors cette force est proportionnelle au seul élément constant de cet écoulement, à savoir le gradient de la vitesse suivant :math:`x_2`, et le coefficient de proportionnalité s'appelle la viscosité dynamique et il est noté :math:`\mu`. On peut donc écrire la force \: :math:`\vec{F}_p = \tau A \vec{i}_1 = \mu A \frac { \partial u_1}{ \partial x_2} \vec{i}_1` A étant la surface d'application de la force (la surface de la plaque ici). Dans ce cas précis, la norme du gradient vaut :math:`\left\Vert \vec{u}_p\right\Vert / h` et on identifie dans ce cas précis: :math:`\mu = \frac { \tau}{ 2 \dot{\gamma}} =\frac { \tau} { \frac {u_p}{h} }` avec :math:`\dot {\gamma}` est le taux de cisaillement, c’est la variation relative de la distance entre 2 points de l’écoulement par unité de temps. Cette relation de proportionnalité entre la force appliquée en surface et le taux de cisaillement est valable pour de nombreux fluides que l'on appelle **fluide newtonien**. Ainsi on peut trouver dans le Système International l'unité de la viscosité dynamique :math:`\mu = \frac { [ \tau ]} { \frac {[u_p]} {[h]} } = \frac {N} { \frac {m/s}{s} } = \frac {kg} { m s} = Pa.s` . L'unité SI de la viscosité est le poiseuille [kg /m / s] de symbole *pl*. On utilise aussi la poise [g / cm/ s], symbole *po*. Conversion : 1 po = 0.1 pl .. important:: Lorsque un fluide est en écoulement, on considère deux zones : dans la zone loin de la paroi, le fluide est considéré comme parfait (:math:`\mu = 0`), les effets de la viscosité sont négligeables et au voisinage de la paroi, dans la couche limite dynamique, on ne néglige plus les effets visqueux : le profil de vitesse est comme indiqué sur la Figure 2.4. Les effets thermiques obéissent à la même description, avec :math:`\lambda` la conductivité thermique qui jour le rôle de (:math:`\mu`). Un fluide est supposé parfait si ses coefficients de transport :math:`\lambda \equiv \mu = 0`. .. _Figure2.4: .. figure:: ./_static/chapitre2_img/figure4_chap2.jpg :scale: 100% :align: center Ecoulement au voisinage d'une paroi et loin de la paroi. Classification des écoulements ******************************* Les écoulements peuvent se classer *essentiellement* par des propriétés physiques. La compressibilité d'un écoulement (et pas celle d'un fluide : les fluides sont tous compressibles) doit être le premier critère de différenciation: les équations qui régissent ces écoulements sont de nature très différentes. Dans ce cours on étudiera essentiellement des écoulements incompressibles, stationnaires et parfaits. En deuxième année, on examinera des écoulements compressibles stationnaires et instationnaires. Enfin en dernière année, des écoulements plus complexes, composés de mélange de fluides seront étudiés. .. _Figure2.5: .. figure:: ./_static/chapitre2_img/figure5_chap2.jpg :scale: 100% :align: center Classification des écoulements. .. toctree:: :maxdepth: 2 exoSupPhyFluid |eop|