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Eléments de cinématique des fluides
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Introduction
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L'intérêt pratique de la cinématique réside dans la visualisation de l'écoulement. Supposons que l'on connaisse un écoulement, c'est-à-dire un champ de vitesse dans un domaine :math:`mathcal{D}`, quels sont les éléments mathématiques qui permettent une description géométrique de cet écoulement ? On connaît déjà les trajectoires, mais on aura besoin d'outils plus spécifiques selon que l'écoulement soit stationnaire ou pas.

Les trajectoires (pathlines)
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Une trajectoire est une courbe formée par les positions successives d'une même particule donnée. L'équation de la trajectoire de la particule positionnée en
:math:`\frac{{dx}_i}{dt}=u_i\left(X_{1,0},X_{2,0},X_{3,0},\ t \right)`


On rappelle que :math:`x_i` est la projection de la position du point M sur les axes du repère :math:`mathcal{R}`.

Une trajectoire est une courbe paramétrée par le temps qui est solution de :

.. math:: \boxed{\frac{{dx}_1}{u_1}=\frac{{dx}_2}{u_2}=\frac{{dx}_3}{u_3}=dt}
  :label: eq_trajectoire


Les lignes de courant (streamlines)
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On appelle ligne de courant, une ligne à un instant donné :math:`\tau` telle que sa tangente coïncide avec le vecteur vitesse en ce point.



.. figure:: ./_static/chapitre3_img/figure9_chap3.jpg
     :scale: 75%
     :align: center

     Représentation d'une ligne de courant à un instante fixé :math:`\tau`


La définition indique qu'un déplacement infinitésimal :math:`\vec{dl}` sur la ligne de courant est parallèle à la vitesse, ce qui se traduit par la relation de colinéarité suivante :math:`\vec{dl}=\lambda\vec{u} \; ou \; \vec{dl}\times\vec{u}=\vec{0}` 

On écrit simplement que :math:`\vec{dl}=dx_1{\vec{i}}_1+dx_2{\vec{i}}_2+dx_3{\vec{i}}_3`  avec  :math:`\lambda` une constante réelle, on a donc à un instant :math:`\tau` fixé:
:math:`dx_i=\lambda_i`


On résout en posant à :math:`\tau` fixé \:
 
.. math:: \boxed{ \frac{{dx}_1}{u_1}=\frac{{dx}_2}{u_2}=\frac{{dx}_3}{u_3}=\lambda }
   :label: eq_ligne_courant

On trouve une famille de courbes qui dépendent du temps :math:`\tau`.

Les tubes de courant (streamtube)
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Les tubes de courant sont formés par l'ensemble des lignes de courant qui s'appuient sur un contour fermé.

.. figure:: ./_static/chapitre3_img/figure10_chap3.jpg
     :scale: 75%
     :align: center

     Représentation d’un tube de courant


Lignes d'émission
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Une ligne d'émission est le lieu géométrique à un instant donné :math:`\tau`, des particules fluides qui sont passées par un point donné et fixe de l'écoulement. 
En injectant de façon continue un colorant dans un écoulement à partir d'un point fixe on peut visualiser la ligne d'émission de ce point.

.. hint::
	Dans le cas d'un écoulement permanent, qui ne dépend pas du temps, les trajectoires, les lignes de courant et les lignes d'émissions sont confondues et représentent la même chose.