Exercices
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Champ de vitesse d'une tornade 2D
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Dans une tornade, la trajectoire de la particule fluide qui se trouve au point  :math:`M_0\left(r_0,\theta_0\right)` à l'instant t=0s   à l'instant t=0s, a pour équations paramétriques en coordonnées polaires, de vecteurs de base  :math:`\left({\vec{i}}_r,\ {\vec{i}}_\theta,{\vec{i}}_z\right)`  :

:math:`r=\sqrt{r_0^2-2at}`

:math:`\theta=\theta_0-\frac{b}{2a}ln\left(\frac{r_0^2-2at}{r_0^2}\right)`


1) Donner l'expression du vecteur vitesse :math:`\vec{u}`, de l'accélération :math:`\vec{\Gamma}` et celle du vecteur tourbillon :math:`\vec{\omega} = \frac {1}{2} \vec{\nabla} \land \vec{u}`.

2) L'écoulement est-il stationnnaire, compressible?
3) Quelle est l'équation générale des lignes de courant
4) Décrire le mouvement d’une particule fluide initialement à :math:`M_0\left(r_0,\theta_0\right)` . Est-ce réaliste ? Que manque -t-il dans cette description.
5) Ecrire un programme qui permet de retrouver les résultats ci-dessous : Trajectoire, évolution du rayon et de l'angle en fonction du temps ainsi que la normae de la vitesse.

On prendra :math:`r_0 = 30.55m, \theta_0=0  rad` :math:`t_{final}=75s`, :math:`a=2\pi` et  :math:`b=10a`



 .. _Figure2.6: 

    .. figure:: ./_static/chapitre3_img/Trajectoire_tornade.png
       :width: 100%
       :align: left

Trajectoire d'une particule fluide initialement en :math:`M_0\left(r_0,\theta_0\right)` 

 

 .. _Figure2.7: 

    .. figure:: ./_static/chapitre3_img/RaysonVsTemps_tornade.png
       :width: 100%
       :align: left

Evolution du rayon en fonction du temps

  
 .. _Figure2.8: 
   
    .. figure:: ./_static/chapitre3_img/AngleVstemps_tornade.png
       :width: 100%
       :align: left
      
 Evolution de l'angle en fonction du temps


 .. _Figure2.9: 

    .. figure:: ./_static/chapitre3_img/VitesseVsTemps_tornade.png
       :width: 100%
       :align: left

Evolution de la vitesse en fonction du temps
 

(Difficulté 4.5/5) Réponses:


1) :math:`\vec{u}=-\frac{a}{r}{\vec{i}}_r+\frac{b}{r}{\vec{i}}_\theta`, :math:`\vec{\Gamma}=-\frac{a^2+b^2}{r^3}{\vec{i}}_r` et :math:`\vec{\omega}=\frac{1}{2}\frac{b}{r^2}{\vec{i}}_z`

2) Stationnaire, compressible

3) :math:`r=r_0e^{-\frac{a}{b}\left(\theta-\theta_0\right)}`


Champ de vitesse 2D
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On considère un écoulement dans le domaine :math:`x_1>0` et :math:`x_2>0` défini par le champ de vitesse suivant :

:math:`u_1=x_1\left(1+2t\right)`

:math:`u_2=x_2`

1) Donner les principales caractéristiques de cet écoulement.
2) Calculer les composantes et le module du vecteur accélération au point A(1,1) à t=0s.
3) Trouver l'équation de la trajectoire qui passe par A à t=0s, sous la forme :math:`x_1=x_1(t)` et :math:`x_2=x_2(t)`.
4) Donner l'équation de la ligne de courant générale et celle qui passe par A à t=0s.

(Difficulté 4/5) Réponses:

1) Ecoulement instationnaire, compressible, bidimensionnel.
2) :math:`\vec{\Gamma}(A,0)={3\vec{i}}_1+{\vec{i}}_2`
3) :math:`\left\{\begin{matrix}x_1=e^{\left(t+t^2\right)}\\\ x_2=e^t\\\end{matrix}\right.` et :math:`\vec{\Gamma}=\left\{\begin{matrix}\Gamma_1=2e^{\left(t+t^2\right)}+\left(1+2t\right)^2e^{\left(t+t^2\right)}=x_1(2+\left(1+2t\right)^2)\\\ \Gamma_2=e^t=x_2\\\end{matrix}\right.`
4) :math:`x_2=x_1`