*******************
Taux de déformation
*******************

Tenseur taux de déformation
===========================

Pour calculer le taux de déformation d’un milieu continu en un point M de coordonnées :math:`X_M (\left(x_\alpha \right)_{\alpha=1,3})`, on considère le segment porté par le vecteur :math:`\vec{MN}`  avec :math:`X_N (\left(x_\alpha + \delta x_\alpha \right)_{\alpha=1,3})`.

  .. figure:: ./_static/chapitre3_img/figure5_chap3.jpg
     :scale: 75%
     :align: center

     Variation au cours du temps d'unvecteur :math:`\vec{ds}`
   
On définit le taux de variation :math:`\varepsilon`  par la variation de longueur du segment  :math:`\vec{\delta s}=\vec{MN}` par unité de temps et de longueur \:

.. math:: \varepsilon= \lim\limits_{ \delta s \to 0}{\left( \frac{1}{\delta s}\frac{d\delta s}{dt} \right)}
   :label: eq_taux_var_ds


Avec :

.. math:: \delta s=\sqrt{\sum_{\alpha}{\delta x}_\alpha^2}
   :label: eq_ds

Cette variation est calculée dans une direction matérielle :math:`\vec{b}`, vecteur unitaire tangent à la ligne matérielle :math:`\vec{MN}`, soit donc pour chaque coordonnée :


.. math:: b_\alpha=\lim\limits_{\delta s \to 0}{\frac{\delta x_\alpha}{\delta s}}
   :label: eq_coord_b

Dans la définition de :math:`\varepsilon`, pour éviter les calculs avec les racines carrées, on remarque que \: 
:math:`\frac{d{\delta s}^2}{dt}\ = 2 \delta s \frac{d{\delta s}}{dt}` soit :math:`\varepsilon=\lim\limits_{\delta s\rightarrow 0}{\left( \frac{1}{2} \frac{1}{{\delta s}^2} \frac{d{\delta s}^2}{dt} \right)}`

On développe cette formule \:
:math:`\varepsilon=\lim\limits_{\delta s \to 0}{\left(\frac{1}{2} \frac{1}{{\delta s}^2}\frac{d \sum_{\alpha}{\delta x}_\alpha^2}{dt}\right) = \lim\limits_{\delta s \to 0}{\left(\sum_{\alpha}{\frac{\delta x_\alpha}{{\delta s}^2}\frac{d\delta x_\alpha}{dt}}\right)}}`
 

Or, par définition du champ de vitesse \:
:math:`\frac{d\delta x_\alpha}{dt} = \frac{d(X_{N,\alpha}-X_{M,\alpha})}{dt}=V_{N,\alpha}-V_{M,\alpha}=\delta V_\alpha`

Les coordonnées de la variation du champ de vitesse qui amène \:

:math:`\varepsilon=\lim\limits_{\delta s \to 0}{\left(\sum_{\alpha}{\frac{\delta x_\alpha}{{\delta s}^2}\frac{d\delta x_\alpha}{dt}}\right)}=\lim\limits{\delta s \to 0}{\left(\sum_{\alpha}{\frac{\delta x_\alpha}{{\delta s}^2}\delta V_\alpha}\right)}`

 
Si on écrit un DL du champ de vitesse autour de N on a :

:math:`V_{N,\alpha}=V_{M,\alpha}+\sum_{\beta}\frac{\partial V_{M,\alpha}}{\partial x_\beta}\delta x_\beta+\sum_{\beta}\frac{\partial^2V_{M,\alpha}}{\partial{x_\beta}^2}\delta^2x_\beta...\approx V_{M,\alpha}+\sum_{\beta}\frac{\partial V_{M,\alpha}}{\partial x_\beta}\delta x_\beta`.

Injectons ceci dans la dernière expression du taux de déformation \:

:math:`...=\lim\limits_{\delta s \to 0}{\left(\sum_{\alpha,\beta}\frac{\partial V_\alpha}{\partial x_\beta}\frac{\delta x_\alpha}{\delta s}\frac{\delta x_\beta}{\delta s}\right)}`

 
On reconnait les composantes du vecteur unitaire :math:`b`  :

.. math:: \varepsilon=\sum_{\alpha,\beta}\frac{\partial V_\alpha}{\partial x_\beta}b_\alpha b_\beta
   :label: eq_coord_epsilon


On reconnait les composantes d’un tenseur d’ordre 2 qui définit en fait le tenseur de l’état des  taux de déformation :

.. math:: \overline{\overline{\varepsilon}}=\vec{\nabla}\vec{\ V}
   :label: eq_tenseur_teux_deformation

En coordonnées cartésiennes on à l'expression suivante \:

:math:`\overline{\overline{\varepsilon}}=\sum_{\alpha,\ \beta}{{\vec{i}}_\alpha\frac{\partial}{\partial x_\alpha}u_\beta{\vec{i}}_\beta}=\sum_{\alpha,\ \beta}{{\vec{i}}_\alpha{\vec{i}}_\beta\frac{\partial u_\beta}{\partial x_\alpha}}`
 
Dans le repère R, la représentation matricielle de ce tenseur s’écrit \:

:math:`\overline{\overline{\varepsilon}}=\left[\begin{matrix}\frac{\partial u_1}{\partial x_1}&\frac{\partial u_1}{\partial x_2}&\frac{\partial u_1}{\partial x_3}\\\frac{\partial u_2}{\partial x_1}&\frac{\partial u_2}{\partial x_2}&\frac{\partial u_2}{\partial x_3}\\\frac{\partial u_3}{\partial x_1}&\frac{\partial u_3}{\partial x_2}&\frac{\partial u_3}{\partial x_3}\\\end{matrix}\right]`


 Les composantes de ce tenseur s’écrivent de façon générale \: :math:`\varepsilon_{ij}=\frac{\partial u_j}{\partial x_i}`  


Analyse du tenseur des déformation
==================================

On vérifie facilement que le tenseur peut se décomposer en \: :math:`\overline{\overline{\varepsilon}}=\overline{\overline{S}}+\overline{\overline{A}}`

Une partie symétrique :math:`\overline{\overline{S}}` telle que  

.. math:: S_{\alpha\beta}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_\beta}{\partial x_\alpha}+\frac{\partial u_\alpha}{\partial x_\beta}\right)
   :label: eq_deformation_part_symetrique


Une partie anti-symétrique :math:`\overline{\overline{A}}` telle que
			
.. math:: A_{\alpha\beta}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_\alpha}{\partial x_\beta}-\frac{\partial u_\beta}{\partial x_\alpha}\right)
   :label: eq_deformation_part_antisymetrique


Calculons  :math:`S_{12}` et  :math:`A_{12}` \:

:math:`S_{12}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_2}{\partial x_1}+\frac{\partial u_1}{\partial x_2}\right) et\ A_{12}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_1}{\partial x_2}-\frac{\partial u_2}{\partial x_1}\right)`
Et on a bien  :math:`\varepsilon_{12}={S_{12}+A}_{12}=\frac{\partial u_1}{\partial x_2}`


Rotation en bloc
================

Si on définit le vecteur tourbillon de l'écoulement :


.. math:: \vec{\Omega}=\frac{1}{2}\vec{rot}\vec{V}=\frac{1}{2}\left(\vec{\nabla}\land\vec{V}\right)
   :label: eq_vect_tourbillon

On a la relation:

.. math :: \overline{\overline{A\ }}\ .\ \vec{dM}=\vec{\Omega}\land\ \vec{dM}
   :label: eq_rotation
   
qui représente la répartition des vitesses dans une rotation solide (ou en bloc) autour d'un axe passant par le centre de gravité de l'élément fluide.

  .. figure:: ./_static/chapitre3_img/figure6_chap3.jpg
     :scale: 100%
     :align: center

     Rotation en bloc (sans cisaillement) avec le vecteur :math:`\vec{\Omega}` d'un volume fluide dans le cas 2D

Dilatation-déformation angulaire
================================

Tout tenseur symétrique peut se décomposer en un tenseur diagonal et un tenseur symétrique :
:math:`\overline{\overline{S}}={\overline{\overline{S}}}_{diag}+{\overline{\overline{S}}}_{sym}`

La partie diagonale du tenseur correspond aux composantes :math:`S_{\alpha\alpha}=\frac{\partial u_\alpha}{\partial x_\alpha}`

Alors la trace de :math:`\overline{\overline{S}}`  et donc de :math:`{\overline{\overline{S}}}_{diag}` est égale à la divergence de la vitesse :math:`tr \left( \overline{\overline{S}} \right) =\vec{\nabla}.\vec{V}`


 
.. figure:: ./_static/chapitre3_img/figure7_chap3.jpg
     :scale: 100%
     :align: center
 
     Variation des longueurs d'un volume de fluide représentée par la partie diagonale du tenseur sphérique des taux de déformation- Cas 2D

On montre que :math:`{\overline{\overline{S}}}_{diag}` représente la variation de longueur dans chacune des directions :math:`x_\alpha` : la vitesse de dilatation ou de contraction du volume fluide.


.. figure:: ./_static/chapitre3_img/figure8_chap3.jpg
     :scale: 75%
     :align: center

     Mouvement du au cisaillement (sans rotation) d'un volume de fluide - Cas 2D



On constate que si la variation est identique dans toutes les directions, :math:`{\overline{\overline{S}}}_{diag}` est un tenseur sphérique (physiquement, cela correspond à une sphère qui se dilate ou se contracte en gardant la même forme).    

.. important::    

	Connaître le tenseur du taux des déformations sera très important quand on va lier ces déformations avec les forces qui les engendrent  (lien contrainte-déformation).