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Taux de variation d'une fonction quelconque
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Introduction
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Usuellement le taux de variation est une dérivée par rapport au temps. Mais dans un écoulement, l'environnement change aussi avec la position. 

Prenons l'exemple suivant : la température de l'atmosphère varie avec l'altitude. Posons que la température décroît de 1° tous les 100 m. Un ballon sonde est lâché et mesure la température. Sachant que le ballon monte avec une vitesse de  5 m/s en moyenne, combien vaut le taux de variation de température mesurée par le ballon ?
Intuitivement, on sent bien que ce taux va dépendre à la fois du temps, et à la fois de la vitesse, c'est ce que nous allons montrer.

Le taux de variation s'écrit toujours :  

.. math:: \frac{d \phi}{dt}
   :label: eq_taux_variation_general


En variables de Lagrange
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Si on suit la particule sur sa trajectoire:

.. math:: \frac{d\phi}{dt}=\frac{d\phi(X_{0,\ i},\ \ t)}{dt}
   :label: lagrange

En variables d'Euler
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:math:`\phi = \phi(x_i, t)`  avec chaque :math:`x_i` exprimé par la relation (3.1)


La différentielle totale de :math:`\phi` s’écrit 

:math:`d \phi= \left. \frac{\partial \phi (x_1, x_2, x_3, t)}{\partial t} \right\}_{x_1,\ x_2,x_3} dt`
:math:`+ \left. \frac{\partial \phi(x_1, x_2,x_3, t)}{\partial x_1} \right\}_{t, x_2,x_3}dx_1  + \left. \frac{\partial \phi(x_1, x_2,x_3, t)}{\partial x_2} \right\}_{t, x_1,x_3} dx_2 + \left. \frac{\partial \phi(x_1, x_2,x_3, t)}{\partial x_3} \right\}_{t, x_1,x_2} dx_3`


Divisons par *dt* pour faire apparaître le taux de variation de :math:`\phi` :

:math:`\frac{ d \phi}{dt} = \left. \frac{\partial \phi (x_1, x_2, x_3, t)}{\partial t} \right\}_{x_1,\ x_2,x_3}`
:math:`+ \left. \frac{\partial \phi(x_1, x_2,x_3, t)}{\partial x_1}  \right\}_{t, x_2,x_3} \frac {dx_1}{dt} + \left. \frac{\partial \phi(x_1, x_2,x_3, t)}{\partial x_2} \right\}_{t, x_1,x_3}\frac {dx_2}{dt} + \left. \frac{\partial \phi(x_1, x_2,x_3, t)}{\partial x_3} \right\}_{t, x_1,x_2}\frac {dx_3}{dt}`

On reconnait \:  
:math:`u_1= \frac{dx_1}{dt} ; u_2 = \frac{dx_2}{dt}; u_3 = \frac{dx_3}{dt}`

que l'on injecte dans la relation précédente pour avoir \:

:math:`\frac{ d \phi}{dt} = \left. \frac{\partial \phi (x_1, x_2, x_3, t)}{\partial t} \right\}_{x_1,\ x_2,x_3}`
:math:`+ \left. \frac{\partial \phi(x_1, x_2,x_3, t)}{\partial x_1}  \right\}_{t, x_2,x_3} u_1 + \left. \frac{\partial \phi(x_1, x_2,x_3, t)}{\partial x_2} \right\}_{t, x_1,x_3} u_2 + \left. \frac{\partial \phi(x_1, x_2,x_3, t)}{\partial x_3} \right\}_{t, x_1,x_2} u_3`

soit sous une forme condensée \:

:math:`\frac{d\phi}{dt}=\frac{\partial \phi}{\partial t}+\sum_{\alpha}{u_{\alpha}\frac{\partial \phi}{\partial x_{\alpha}}}` 

 
On introduit l'opérateur Nabla :math:`\vec{\nabla}`, tel que 

:math:`\vec{\nabla} \phi \equiv grad( \phi )`

.. warning::
  On rappelle que l'opérateur nabla est un vecteur dont les composantes dépendent du système de coordonnée. 

En **cartésien** on a \: 

.. math:: \vec{\nabla}={\vec{i}}_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\ {\vec{i}}_2\frac{\partial}{\partial x_2}+{\vec{i}}_3\frac{\partial}{\partial x_3}=\sum_{\alpha}{{\vec{i}}_\alpha\frac{\partial}{\partial x_\alpha}}
   :label: eq_nabla_cartesien			

Le gradient de la fonction  s'écrit \:

.. math:: \vec{\nabla} \phi = {\vec{i}}_1\frac{\partial\phi}{\partial x_1} + {\vec{i}}_2\frac{\partial\phi}{\partial x_2}+{\vec{i}}_3\frac{\partial \phi}{\partial x_3}=\sum_{\alpha}{{\vec{i}}_\alpha\frac{\partial\phi}{\partial x_\alpha}}
   :label: eq_gradient_fi

On vérifiera que \:
:math:`\sum_{\alpha}{u_\alpha\frac{\partial}{\partial x_\alpha}=\vec{u}.\vec{\nabla}}`
 
Le taux de variation de :math:`\phi`  dans une description eulérienne s'écrit  \:

 .. math:: \boxed{ \frac{d\phi}{dt}=\frac{\partial \phi}{\partial t}+\vec{u}.\vec{\nabla}\phi }
    :label: eq_taux_variation_euler

* Le premier terme représente la variation temporelle de la fonction.
* Le second représente les variations dues au déplacement du fluide et aux variations en fonction de l'espace: c'est un terme convecté. 


.. important::

	Cette dernière formule est très importante et va nous accompagner tout au long de ce cours.

Grâce à l'opérateur :math:`\vec{\nabla}`, la formule représente le taux de variation d'une fonction :math:`\phi` , dans **tous les types de repère** : ici cartésien, mais aussi cylindrique et sphérique. (Cf. Annexe 1)

Cette dérivée s'appelle la **dérivée particulaire**. On trouve souvent la notation suivante :
:math:`\frac{D\phi}{Dt}=\frac{\partial \phi}{\partial t}+\vec{u}.\vec{\nabla}\phi`

Cette dérivée s’écrit sous la forme d'opérateur suivant :  
:math:`\frac{d \diamond}{dt}=\frac{\partial \diamond}{\partial t}+\vec{u}.\vec{\nabla}(\diamond)`

.. note:: Retour à notre exemple

	On peut écrite la température sous la forme \:
	:math:`T=T(x_2)=T_0+bx_2`
	avec :math:`T_0` la température au niveau du sol.
	La vitesse est purement ascensionnelle donc portée par le vecteur :math:`{\vec{i}}_2` 
	\:
	:math:`\vec{u}=u_2{\vec{i}}_2 = 5 {\vec{i}}_2`

	La variation de la température s'écrit en appliquant la dérivée 3.8 à cette  grandeur\:
	:math:`\frac{dT}{dt}=\frac{\partial T}{\partial t}+\vec{u}.\vec{\nabla}(T)`

	Comme le champ de température est supposé constant \: :math:`\frac{\partial T}{\partial t}=0`

	Le gradient de T s'écrit \: :math:`\vec{\nabla}T=\ {\vec{i}}_2\frac{\partial T}{\partial x_2}={\vec{i}}_2b`.

	Alors le ballon sonde mesure un taux de variation de la température :
	:math:`\frac{dT}{dt}=u_2{\vec{i}}_2.\left({\vec{i}}_2b\right)`

	Application numérique :
		D'après l'énoncé  :math:`b=-0.01 K/m` et  :math:`T_0=293 K`
		on obtient \: :math:`\frac{dT}{dt}=5*(-0.01)=-5\ 10^{-2}K/s`