4. Annexe 1: Tenseur des contraintes en cylindrique¶
4.1. Expression du tenseur¶
On donne ici l’expression du teneur de conraintes d’un fluide newtonien en coodonnées cylindrique. Le repère de base est \(( \vec{i}_r, \vec{i}_\theta,\vec{i}_z)\).
On rappelle que le tenseur des contraintes s’écrit :
(4.1)¶\[\bar{\bar{\tau}}_{vis} = \mu\left(\vec{\nabla}\vec{u}+\vec{\nabla}{\vec{u}}^T\right) -\frac{2}{3}\mu\left(\vec{\nabla}.\vec{u}\right)\bar{\bar{I}}\]
On rapelle aussi qu’en coordonnées cylindrique l’opérateur nabla est donné :
\(\vec{\nabla}={\vec{i}}_r\frac{\partial}{\partial r}+{\vec{i}}_\theta\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}+{\vec{i}}_z\frac{\partial}{\partial z}\)
On obtient pour chaque composante du tenseur :
\(\tau_{rr}=2\mu\frac{\partial u_r}{\partial r}-\frac{2}{3}\mu\left(\frac{1}{r}\frac{\partial r\ u_r}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right)\)
\(\tau_{\theta\theta}=2\mu\left(\frac{u_r}{r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}\right) -\frac{2}{3}\mu \left( \frac{1}{r}\frac{\partial r\ u_r}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z} \right)\)
\(\tau_{zz}=2 \mu\frac{\partial u_z}{\partial z}-\frac{2}{3}\mu\left(\frac{1}{r}\frac{\partial r\ u_r}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial\theta}+\frac{\partial u_z}{\partial z}\right)\)
\(\tau_{r\theta}=\tau_{\theta r}=\mu \left( \frac{1}{r}\frac{\partial u_r}{\partial\theta}+r \frac{\partial \frac{u_\theta}{r} }{\partial r} \right)\)
\(\tau_{\theta z}=\tau_{z\theta}=\mu\left(\frac{\partial u_\theta}{\partial z}+\frac{1}{r}\frac{\partial u_z}{\partial\theta}\right)\)
\(\tau_{zr}=\tau_{rz}=\mu\left(\frac{\partial u_r}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial r}\right)\)
4.2. Expression de la divergence du tenseur¶
On donne ici l’expression de la divergence du tenseur des contraintes en coordonées cylindriques :
\(\vec{\nabla}.{\bar{\bar{\tau}}}_{vis}=\left\{\begin{matrix}\frac{\partial\tau_{rr}\ }{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial\tau_{\theta r}}{\partial\theta}+\frac{\partial\tau_{zr}\ }{\partial z}+\frac{\tau_{rr\ -\tau_{\theta\theta}}}{r}\\\frac{\partial\tau_{r\theta}}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial\tau_{\theta\theta}}{\partial\theta}+\frac{\partial\tau_{z\theta}}{\partial z}+\frac{\tau_{r\theta+}\tau_{\theta r}}{r}\\\frac{\partial\tau_{rz}}{\partial r}+\frac{1}{r}\frac{\partial\tau_{\theta z}}{\partial\theta}+\frac{\partial\tau_{zz}}{\partial z}+\frac{\tau_{rz}}{r}\\\end{matrix}\right.\)