3.3. Accélération

On connait le nom du taux de variation de la vitesse : c’est l” accélération du fluide. Dans une représentation lagrangienne on a de façon évidente :

\(\vec{\Gamma}=\frac{d^2\vec{OM}}{dt^2}=\frac{d\vec{u}}{dt}\)

dont les coordonnées dans le repère \(\mathcal{R}\) sont :

\(\frac{d\vec{u}}{dt}=\left\{\begin{matrix}\Gamma_1\\\Gamma_2\\\Gamma_3\\\end{matrix}\right.\)

Dans une représentation eulérienne on applique directement la formule (3.8) :

(3.9)\[\frac{d\vec{u}}{dt}=\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}+\vec{u}.\vec{\nabla}(\vec{u})=\frac{\partial\vec{u}}{\partial t}+\vec{u}.\vec{\nabla}\vec{u}\]

Le résultat est bien un vecteur…

On constate qu’il n’y a pas de produit scalaire \(\vec{\nabla}\) et le vecteur \(\vec{u}\) : il s’agit bien d’un produit tensoriel.Cela s’écrit:

\(\vec{u}.\vec{\nabla}\vec{u}=\sum_{\alpha}{u_\alpha{\vec{i}}_\alpha}.\sum_{\beta}{{\vec{i}}_\beta\frac{\partial}{\partial x_\beta}}\left(\sum_{\gamma}{u_\gamma{\vec{i}}_\gamma}\right)\)

\(...=\sum_{\alpha}{u_\alpha{\vec{i}}_\alpha}.\left(\sum_{\beta,\gamma}{{\vec{i}}_\beta{\vec{i}}_\gamma\frac{\partial u_\gamma}{\partial x_\beta}}+\sum_{\beta,\gamma}{{\vec{i}}_\beta u_\gamma\frac{\partial{\vec{i}}_\gamma}{\partial x_\beta}}\right)\)

En coordonnées cartésiennes les vecteurs de base sont constants, il ne reste alors que :

\(...=\sum_{\alpha}{u_\alpha{\vec{i}}_\alpha}.\sum_{\beta,\gamma}{{\vec{i}}_\beta{\vec{i}}_\gamma\frac{\partial u_\gamma}{\partial x_\beta}}\)

en appliquant le produit scalaire et la notation de Kronecker sur les vecteurs de base :

\(...=\sum_{\alpha,\beta,\gamma}{u_\alpha{\vec{i}}_\alpha}.{\vec{i}}_\beta{\vec{i}}_\gamma\frac{\partial u_\gamma}{\partial x_\beta}\)

\(...=\sum_{\alpha,\beta,\gamma} u_\alpha\delta_\alpha^\beta{\vec{i}}_\gamma\frac{\partial u_\gamma}{\partial x_\beta}=...=\sum_{\alpha,\beta,\gamma}{{\vec{i}}_\gamma u}_\alpha\frac{\partial u_\gamma}{\partial x_\alpha}\)

On développe en remplaçant successivement \(\alpha\) par 1, 2 et 3 et idem pour \(\beta\):

\(...=\sum_{\alpha,\beta,\gamma}{{\vec{i}}_\gamma u}_\alpha\frac{\partial u_\gamma}{\partial x_\alpha}={\vec{i}}_1\left(u_1\frac{\partial u_1}{\partial x_1}+u_2\frac{\partial u_1}{\partial x_2}+u_3\frac{\partial u_1}{\partial x_3}\right)+\) \({\vec{i}}_2\left(u_1\frac{\partial u_2}{\partial x_1}+u_2\frac{\partial u_2}{\partial x_2}+u_3\frac{\partial u_2}{\partial x_3}\right)+{\vec{i}}_3\left(u_1\frac{\partial u_3}{\partial x_1}+u_2\frac{\partial u_3}{\partial x_2}+u_3\frac{\partial u_3}{\partial x_3}\right)\)

Ainsi la projection de l’accélération dans le repère \(\mathcal{R}\), en variables eulériennes et dans un système cartésien s’écrit :

\(\vec{\Gamma}=\left\{\begin{matrix}\Gamma_1=\frac{\partial u_1}{\partial t}\ +u_1\frac{\partial u_1}{\partial x_1}+u_2\frac{\partial u_1}{\partial x_2}+u_3\frac{\partial u_1}{\partial x_3}\\\Gamma_2=\frac{\partial u_2}{\partial t}\ +u_1\frac{\partial u_2}{\partial x_1}+u_2\frac{\partial u_2}{\partial x_2}+u_3\frac{\partial u_2}{\partial x_3}\\\Gamma_3=\frac{\partial u_3}{\partial t}\ +u_1\frac{\partial u_3}{\partial x_1}+u_2\frac{\partial u_3}{\partial x_2}+u_3\frac{\partial u_3}{\partial x_3}\\\end{matrix}\right.\)

L’expression de l’accélération sera utilisée lorsque l’on appliquera les principes fondamentaux de la Mécanique pour établir les équations du mouvement.