3.6. Rappels de calcul vectoriel

On adopte la règle calculatoire simple suivante pour le produit scalaire entre 2 vecteurs notés « . » Soit \(\vec{A}=a_1{\vec{i}}_1+a_2{\vec{i}}_2+a_3{\vec{i}}_3=\sum_{\alpha}{a_\alpha{\vec{i}}_\alpha}\) et \(\vec{B}=b_1{\vec{i}}_1+b_2{\vec{i}}_2+b_3{\vec{i}}_3=\sum_{\beta}{b_\beta{\vec{i}}_\beta}\)

Le produit scalaire s’écrit :

\(\vec{A}\ .\ \vec{B}=\sum_{\alpha}{a_\alpha{\vec{i}}_\alpha}.\ \sum_{\beta}{b_\beta{\vec{i}}_\beta}=\sum_{\alpha\beta}{a_\alpha{b_\beta\vec{i}}_\alpha}.\ {\vec{i}}_\beta\)

Donc

\(\vec{A} . \vec{B} =\sum_{\alpha \beta}{a_{\alpha} b_{\beta} {\delta_\alpha}^\beta} = \sum_{\alpha}{a_{\alpha} b_{\alpha}}\)

avec : \(\delta_\alpha^\beta\) est le symbole de Kronecker

\({\vec{i}}_\alpha.\ {\vec{i}}_\beta=0 \; si \; \alpha\neq\beta\)

\({\vec{i}}_\alpha.\ {\vec{i}}_\beta=1 \; si \; \alpha = \beta\)

Le produit tensoriel \(\vec{A} \vec{B}\) se développe comme suit :

\(\vec{A} \vec{B} = \sum_{ \alpha}{a_{\alpha} {\vec{i}}_\alpha } \sum_{\beta}{b_{\beta} {\vec{i}}_\beta} = \sum_{\alpha \beta}{a_{\alpha} b_{\beta} \vec{i}_\alpha {\vec{i}}_\beta }\)