3.2. Taux de variation d’une fonction quelconque

3.2.1. Introduction

Usuellement le taux de variation est une dérivée par rapport au temps. Mais dans un écoulement, l’environnement change aussi avec la position.

Prenons l’exemple suivant : la température de l’atmosphère varie avec l’altitude. Posons que la température décroît de 1° tous les 100 m. Un ballon sonde est lâché et mesure la température. Sachant que le ballon monte avec une vitesse de 5 m/s en moyenne, combien vaut le taux de variation de température mesurée par le ballon ? Intuitivement, on sent bien que ce taux va dépendre à la fois du temps, et à la fois de la vitesse, c’est ce que nous allons montrer.

Le taux de variation s’écrit toujours :

(3.4)\[\frac{d \phi}{dt}\]

3.2.2. En variables de Lagrange

Si on suit la particule sur sa trajectoire:

(3.5)\[\frac{d\phi}{dt}=\frac{d\phi(X_{0,\ i},\ \ t)}{dt}\]

3.2.3. En variables d’Euler

\(\phi = \phi(x_i, t)\) avec chaque \(x_i\) exprimé par la relation (3.1)

La différentielle totale de \(\phi\) s’écrit

\(d \phi= \left. \frac{\partial \phi (x_1, x_2, x_3, t)}{\partial t} \right\}_{x_1,\ x_2,x_3} dt\) \(+ \left. \frac{\partial \phi(x_1, x_2,x_3, t)}{\partial x_1} \right\}_{t, x_2,x_3}dx_1 + \left. \frac{\partial \phi(x_1, x_2,x_3, t)}{\partial x_2} \right\}_{t, x_1,x_3} dx_2 + \left. \frac{\partial \phi(x_1, x_2,x_3, t)}{\partial x_3} \right\}_{t, x_1,x_2} dx_3\)

Divisons par dt pour faire apparaître le taux de variation de \(\phi\) :

\(\frac{ d \phi}{dt} = \left. \frac{\partial \phi (x_1, x_2, x_3, t)}{\partial t} \right\}_{x_1,\ x_2,x_3}\) \(+ \left. \frac{\partial \phi(x_1, x_2,x_3, t)}{\partial x_1} \right\}_{t, x_2,x_3} \frac {dx_1}{dt} + \left. \frac{\partial \phi(x_1, x_2,x_3, t)}{\partial x_2} \right\}_{t, x_1,x_3}\frac {dx_2}{dt} + \left. \frac{\partial \phi(x_1, x_2,x_3, t)}{\partial x_3} \right\}_{t, x_1,x_2}\frac {dx_3}{dt}\)

On reconnait : \(u_1= \frac{dx_1}{dt} ; u_2 = \frac{dx_2}{dt}; u_3 = \frac{dx_3}{dt}\)

que l’on injecte dans la relation précédente pour avoir :

\(\frac{ d \phi}{dt} = \left. \frac{\partial \phi (x_1, x_2, x_3, t)}{\partial t} \right\}_{x_1,\ x_2,x_3}\) \(+ \left. \frac{\partial \phi(x_1, x_2,x_3, t)}{\partial x_1} \right\}_{t, x_2,x_3} u_1 + \left. \frac{\partial \phi(x_1, x_2,x_3, t)}{\partial x_2} \right\}_{t, x_1,x_3} u_2 + \left. \frac{\partial \phi(x_1, x_2,x_3, t)}{\partial x_3} \right\}_{t, x_1,x_2} u_3\)

soit sous une forme condensée :

\(\frac{d\phi}{dt}=\frac{\partial \phi}{\partial t}+\sum_{\alpha}{u_{\alpha}\frac{\partial \phi}{\partial x_{\alpha}}}\)

On introduit l’opérateur Nabla \(\vec{\nabla}\), tel que

\(\vec{\nabla} \phi \equiv grad( \phi )\)

Avertissement

On rappelle que l’opérateur nabla est un vecteur dont les composantes dépendent du système de coordonnée.

En cartésien on a :

(3.6)\[\vec{\nabla}={\vec{i}}_1\frac{\partial}{\partial x_1}+\ {\vec{i}}_2\frac{\partial}{\partial x_2}+{\vec{i}}_3\frac{\partial}{\partial x_3}=\sum_{\alpha}{{\vec{i}}_\alpha\frac{\partial}{\partial x_\alpha}}\]

Le gradient de la fonction s’écrit :

(3.7)\[\vec{\nabla} \phi = {\vec{i}}_1\frac{\partial\phi}{\partial x_1} + {\vec{i}}_2\frac{\partial\phi}{\partial x_2}+{\vec{i}}_3\frac{\partial \phi}{\partial x_3}=\sum_{\alpha}{{\vec{i}}_\alpha\frac{\partial\phi}{\partial x_\alpha}}\]

On vérifiera que : \(\sum_{\alpha}{u_\alpha\frac{\partial}{\partial x_\alpha}=\vec{u}.\vec{\nabla}}\)

Le taux de variation de \(\phi\) dans une description eulérienne s’écrit :

(3.8)\[\boxed{ \frac{d\phi}{dt}=\frac{\partial \phi}{\partial t}+\vec{u}.\vec{\nabla}\phi }\]

• Le premier terme représente la variation temporelle de la fonction.
• Le second représente les variations dues au déplacement du fluide et aux variations en fonction de l’espace: c’est un terme convecté.

Important

Cette dernière formule est très importante et va nous accompagner tout au long de ce cours.

Grâce à l’opérateur \(\vec{\nabla}\), la formule représente le taux de variation d’une fonction \(\phi\) , dans tous les types de repère : ici cartésien, mais aussi cylindrique et sphérique. (Cf. Annexe 1)

Cette dérivée s’appelle la dérivée particulaire. On trouve souvent la notation suivante : \(\frac{D\phi}{Dt}=\frac{\partial \phi}{\partial t}+\vec{u}.\vec{\nabla}\phi\)

Cette dérivée s’écrit sous la forme d’opérateur suivant : \(\frac{d \diamond}{dt}=\frac{\partial \diamond}{\partial t}+\vec{u}.\vec{\nabla}(\diamond)\)

Note

Retour à notre exemple

On peut écrite la température sous la forme : \(T=T(x_2)=T_0+bx_2\) avec \(T_0\) la température au niveau du sol. La vitesse est purement ascensionnelle donc portée par le vecteur \({\vec{i}}_2\) : \(\vec{u}=u_2{\vec{i}}_2 = 5 {\vec{i}}_2\)

La variation de la température s’écrit en appliquant la dérivée 3.8 à cette grandeur: \(\frac{dT}{dt}=\frac{\partial T}{\partial t}+\vec{u}.\vec{\nabla}(T)\)

Comme le champ de température est supposé constant : \(\frac{\partial T}{\partial t}=0\)

Le gradient de T s’écrit : \(\vec{\nabla}T=\ {\vec{i}}_2\frac{\partial T}{\partial x_2}={\vec{i}}_2b\).

Alors le ballon sonde mesure un taux de variation de la température : \(\frac{dT}{dt}=u_2{\vec{i}}_2.\left({\vec{i}}_2b\right)\)

Application numérique :

D’après l’énoncé \(b=-0.01 K/m\) et \(T_0=293 K\) on obtient : \(\frac{dT}{dt}=5*(-0.01)=-5\ 10^{-2}K/s\)